درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (1) کلاس دهم ریاضی
درس 1: چند ضلعیها و ویژگیهایی از آنها
با پاره خط قبلاً آشنا شدهاید. مطابق شکل زیر در پاره خط $AB$، نقطههای $A$ و $B$ را دو سر پارهخط یا نقاط انتهایی پارهخط مینامند.
به شکلهای زیر توجه کنید. هر شکل از تعدادی پاره خط تشکیل شده است؛ اما نقاط مشترک پاره خط ها در همهٔ شکل ها با هم یکسان نیستند.
|
|
|
|
|
|
به شکلهای زیر توجه کنید. هر شکل از تعدادی پارهخط تشکیل شده است؛ اما نقاط مشترک پارهخط ها در همهٔ شکلها با همیکسان نیستند.
در شکل (3) دو پارهخط $AE$ و $FC$ یکدیگر را در نقطهای به جز نقاط انتهاییشان قطع کردهاند. در شکل (4) پارهخط $DE$ فقط در یک انتها بعضی پارهخطها را قطع کرده و در انتهای دیگر هیچ پارهخطی را قطع نکرده است. اما در شکلهای (1) و (2) هر پارهخط فقط دو پارهخط دیگر را آن هم در نقاط انتهایی قطع کرده است. چنین شکلهای بستهای را که از اجتماع پارهخطهای متوالی هم تشکیل شده است، چند ضلعی مینامند.
در تمام این فصل شکلها در صفحه درنظر گرفته میشوند.
هر یک از این پارهخطها یک ضلِع چند ضلعی است.
|
|
|
|
هر دو ضلع چندضلعی را که در یک انتها مشترکاند، دو ضلع مجاور و نقطهٔ مشترک آن دو را رأس مینامند. هر دو زاویهٔ چندضلعی را که هر دو در یک ضلِع چندضلعی مشترکاند، دو زاویهٔ مجاور به آن ضلع در چندضلعی مینامند. مانند $\angle A$ و $\angle B$ در شکلهای (1) و (2)
کدام یک از شکلهای مقابل چند ضلعی است و تعداد ضلعها و رأسهای آن چندتاست؟
برخی ضلعهای مجاور هم و غیر مجاور هم را مشخص کنید.
قطر در چندضلعیها
یک چهار ضلعی چند قطر دارد؟
$n$ ضلعی ${A_1}{A_2}...{A_n}$ را در نظر میگیریم. از رأس ${A_1}$، $n - 3$ قطر میتوان رسم کرد.
با توجه به اینکه $n$ رأس داریم، آیا میتوان گفت تعداد قطرها در $n$ ضلعی $n(n - 3)$ است؟ خیر
با این فرمول، مستطیل چند قطر دارد؟
$4(4 - 3) = 4$
آیا جواب بهدست آمده درست است؟ خیر
با چه تغییری در این فرمول به فرمول درست محاسبهٔ قطرها میرسیم؟ چرا این تغییر لازم است؟
کافی است آن را بر 2 تقسیم کنیم.
زیرا هر رأس دو بار شمرده میشود.
کار در کلاس (صفحه 55 کتاب درسی)
$n$ نقطه که هیچ سهتای آنها روی یک خط واقع نیستند، مفروضاند. با توجه به استدلالی که در محاسبهٔ تعداد قطرهای $n$ ضلعی به کار بردهاید، نشان دهید از هر نقطه به نقاط دیگر $n - 1$ پارهخط رسم میشود. بنابراین، این $n$ نقطه را با $\frac{{n(n - 1)}}{2}$ پارهخط میتوان به هم متصل کرد. چه رابطهای بین این تعداد پارهخط و مجموع تعداد قطرها و ضلعها در $n$ ضلعی وجود دارد؟
با هم برابرند، به عبارت دیگر $\frac{{n(n - 1)}}{2} = n + \frac{{n(n - 3)}}{2}$
هر «چندضلعی» را که محدب نباشد، مقعر مینامند.
چهارضلعیهای مهم و ویژگیهایی از آنها
در چهار ضلعی $ABCD$ در شکل، دو ضلع $AB$ و $CD$، همچنین دو ضلع $AD$ و $BC$ را ضلعهای مقابل مینامند. در چهارضلعی هر دو ضلع غیرمجاور را دو ضلع مقابل مینامند.
ابتدا تعریف چهارضلعیهای مهم را بیان میکنیم.
کار در کلاس (صفحه 56 کتاب درسی)
با توجه به تعریفهای بالا درستی هریک از عبارتهای زیر را توجیه کنید:
الف) مستطیل یک متوازی الاضلاع است.
فرض: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = {90^ \circ }$
حکم: $AD||BC\,\,\,,\,\,\,AB||CD$
برهان:
$\left. \begin{gathered}
AD \bot AB \hfill \\
BC \bot AB \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow AD||BC$
$\left. \begin{gathered}
AB \bot AD \hfill \\
CD \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow AB||CD$
ب) اگر در متوازی الاضلاع یک زاویه قائمه باشد، مستطیل است؛ چرا؟
فرض: $\angle A = {90^ \circ },AD||BC,AB||CD$
حکم: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = {90^ \circ }$
برهان:
$AB,AD||BC \Rightarrow \angle A = \angle B = {90^ \circ }\,\,\,\,(1)$ مورب
$AD,AB||CD \Rightarrow \angle A = \angle D = {90^ \circ }\,\,\,\,(2)$
$(1),(2) \Rightarrow \angle A = \angle B = \angle D = {90^ \circ } \Rightarrow \angle C = {90^ \circ }$
پ) لوزی یک متوازی الاضلاع است.
در لوزی $ABCD$ قطر $AC$ را رسم میکنیم. در مثلث $ABC$ و $ADC$ به حالت ض ز ض همنهشتاند. بنابراین دو زاویهٔ $\angle {A_1}$ و $\angle {C_1}$ هماندازهاند.
در نتیجه دو ضلع $AB$ و $CD$ موازیاند. به همین ترتیب دو ضلع مقابل $BC$ و $AD$ نیز موازیاند. یعنی لوزی متوازی الاضلاع است.
بنابراین، لوزی متوازی الاضلاعی است که دو ضلع مجاور آن هم اندازه باشند.
ت) مربع یک متوازی الاضلاع است.
بنا به تعریف مربع، هر چهارضلع مربع با هم برابرند پس هر مربع نوعی لوزی است. از طرف دیگر هر لوزی نیز نوعی متوازیالاضلاع است.
ویژگیهایی از متوازی الاضلاع
فعالیت (صفحه 56 کتاب درسی)
متوازی الاضلاع $ABCD$ را در نظر بگیرید و قطر $BD$ را رسم کنید. از موازی بودن ضلعها چه نتیجهای میگیرید؟
$\left. \begin{gathered}
BD,AD||BC \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {D_2} \hfill \\
BD,AB||CD \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {D_1} \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BD = BD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta ABD \cong \Delta CDB \Rightarrow \left| \begin{gathered}
AD = BC \hfill \\
AB = CD \hfill \\
\end{gathered} \right.$
دو مثلث $ABD$ و $CDB$ به حالت ز ض ز همنهشتاند.
در نتیجه، $BC$$AD = $ و $CD$$AB = $
بنابراین قضیهٔ زیر ثابت شده است؛
کار در کلاس (صفحه 57 کتاب درسی)
در فعالیت (1) مشاهده کردیم که وقتی در هر متوازی الاضلاع $ABCD$ یک قطر مثلاً قطر $BD$ را رسم میکنیم. دو مثلث همنهشت $ABD$ و $CDB$ پدید میآیند. حال پرسش این است، اگر در یک چهارضلعی $ABCD$ قطر $BD$ را رسم کنیم و $\Delta ABD$ و $\Delta CDB$ همنهشت باشند، آیا چهارضلعی $ABCD$ همواره متوازی الاضلاع است؟
اگر چنین است، آن را ثابت کنید و اگر نادرست است، مثال نقض بیاورید.
در چهارضلعی $ABCD$ قطر $BD$ را رسم میکنیم. به حالت ز ض ز ، $\Delta ABD \cong \Delta CDB$. از همنهشتی این دو مثلث نتیجه میگیریم، اندازهٔ $\angle {B_1}$ برابر اندازهٔ $\angle {D_1}$ است.
بنابراین ضلع $AB$ موازی ضلع $CD$ است. از چه قضیهای آن را نتیجه گرفتهاید؟ قضیهٔ خطوط موازی و مورب
موازی بودن دو ضلع دیگر یعنی ضلعهای $AD$ و $BC$ را چگونه نتیجه میگیرید؟
بنابراین چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
$\angle {D_2} = \angle {B_2} \Rightarrow AD||BC$
فعالیت (صفحه 57 کتاب درسی)
چهارضلعی $ABCD$ متوازی الاضلاع است.
با توجه به شکل، $\angle {B_2} = \angle C$ است؛ چرا؟ زیرا $AB||CD$ و $BC$ مورب است
$\angle {B_1}$ و $\angle {B_2}$ نسبت به هم چه وضعی دارند؟ بنابراین $\angle {B_1}$ و $\angle C$ مکمل میباشند.
در چهارضلعی $ABCD$، دو زاویهٔ $\angle B$ و $\angle C$ با هم مکملاند. در این صورت ضلع $AB$ موازی ضلع $CD$ است.
به همین ترتیب دو زاویهٔ $\angle B$ و $\angle A$ نیز مکملاند. در نتیجه، ضلع $AD$ موازی ضلع $BC$ است؛ بنابراین چهارضلعی $ABCD$ متوازی الاضلاع است.
با توجه به قضیهٔ قبل آن را ثابت کنید.
میتوانید از فعالیت (1) نیز استفاده کنید.
$\left. \begin{gathered}
\angle A + \angle B = {180^ \circ } \hfill \\
\angle B + \angle C = {180^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \angle A + \angle B = \angle B + \angle C \Rightarrow \angle A = \angle C$
$\left. \begin{gathered}
\angle A + \angle B = {180^ \circ } \hfill \\
\angle A + \angle D = {180^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \angle A + \angle B = \angle A + \angle D \Rightarrow \angle B = \angle D$
فرض کنیم در چهارضلعی $ABCD$ هر دو زاویهٔ مقابل هماندازه باشند. یعنی $\angle B$ و $\angle D$ و همچنین $\angle C$ و $\angle A$ هماندازهاند. میدانیم مجموع اندازههای زاویههای درونی هر چهارضلعی محدب ${360^ \circ }$ است. چگونه به کمک آن ثابت میکنید هر دو زاویهٔ مجاور مثلاً $\angle B$ و $\angle C$ مکملاند؟
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = {360^ \circ }\xrightarrow[{\angle B = \angle D}]{{\angle A = \angle C}}2\angle A + 2\angle B = {360^ \circ }$
$\xrightarrow{{ \div 2}}\angle A + \angle B = {180^ \circ }\,\,\,(1)$
$\left. \begin{gathered}
\angle A = \angle C \hfill \\
\angle B + \angle D \hfill \\
\end{gathered} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \angle A + \angle B = \angle B + \angle C = \angle C + \angle D = $
$\angle A + \angle D = {180^ \circ } \Rightarrow AB||CD,AD||BC$
بنابراین به کمک عکس قضیهٔ 2 ثابت کردهاید چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
فعالیت (صفحه 58 کتاب درسی)
در متوازی الاضلاع $ABCD$، دو قطر $AC$ و $BD$ را رسم میکنیم و نقطهٔ تلافی آن دو را $O$ مینامیم. $\Delta AOB \cong \Delta COD$ چرا؟
$\left. \begin{gathered}
AC\,\,,\,\,AB||CD \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {C_1} \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = CD \hfill \\
BD\,\,,\,\,AB||CD \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {D_1} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OCD$
بنابراین $OD$$OB = $ و $OC$$OA = $. در نتیجه؛
فعالیت (صفحه 58 کتاب درسی)
فرض کنید در یک چهارضلعی دو قطر منصف یکدیگر باشند. چگونه نشان میدهید این چهارضلعی متوازی الاضلاع است؟
$\left. \begin{gathered}
OA = OC \hfill \\
{{\hat O}_1} = {{\hat O}_2} \hfill \\
OB = OC \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta OAB \cong \Delta OCD \Rightarrow {\hat B_1} = {\hat D_1} \Rightarrow AB||CD$
به روش مشابه ثابت میشود: $\Delta OAD \cong \Delta OBC \Rightarrow {\hat B_2} = {\hat D_2} \Rightarrow AD||BC$
نقطه تقاطع دو قطر را $O$ مینامیم. $\Delta AOB \cong \Delta OCD$. چرا؟
اندازهٔ $\angle {B_1}$ برابر اندازهٔ ..................... است. در نتیجه، ضلع $AB$ موازی ضلع ..................... است. دو مثلث دیگر را درنظر بگیرید و به طور مشابه نشان دهید دو ضلع دیگر نیز موازیاند.
بنابراین؛
فعالیت (صفحه 59 کتاب درسی)
فرض کنید در یک چهارضلعی دو ضلع مقابل موازی و هماندازه باشند. مثلاً در چهارضلعی $ABCD$، ضلعهای $AB$ و $CD$ هماندازه و موازیاند. قطر $AC$ را رسم میکنیم.
اندازهٔ $\angle {A_1}$ با اندازهٔ $\angle {C_1}$ برابر است.
بنابراین، بنابر حالت همنهشتی ز ض ز، $\Delta ABC \cong \Delta CDA$.
در نتیجه اندازهٔ $\angle {A_2}$ برابر اندازهٔ زاویهٔ $\angle {C_2}$ است که از آن نتیجه میگیرید ضلع $AD$ موازی ضلع $BC$ است. بنابراین، چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
یعنی؛
ویژگیهایی از مستطیل و لوزی
کدام ویژگی از مستطیل است که در هر متوازی الاضلاعی که مستطیل نباشد، برقرار نیست؟ زاویهٔ قائمه در مورد مربع چطور؟ خیر
در مستطیل $ABCD$، دو قطر را رسم میکنیم. از همنهشتی کدام دو مثلث میتوان نتیجه گرفت $AC = BD$؟ این همنهشتی را نشان دهید.
بنابراین در هر مستطیل قطرها مساویاند.
$\left. \begin{gathered}
\,AD = BC \hfill \\
\angle C = D = {90^ \circ } \hfill \\
\,CD = CD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta ADC \cong \Delta BCD \Rightarrow AC = BD$
اگر دو قطر یک چهارضلعی هماندازه باشند، آیا میتوان نتیجه گرفت آن چهارضلعی مستطیل است؟
خیر؛ در ذوزنقه متساویالساقین نیز قطرها مساویاند
اگر این چهارضلعی متوازی الاضلاع باشد، چطور؟ آن را با دلیل بیان کنید.
$\left. \begin{gathered}
\,AD = BC \hfill \\
AC = BD \hfill \\
\,CD = CD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta ADC \cong \Delta BCD \Rightarrow \angle C = \angle D$
از طرف دیگر در هر متوازی الاضلاع زاویههای مجاور مکمل یکدیگرند. پس: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = {90^ \circ }$
فعالیت (صفحه 60 کتاب درسی)
ویژگی مهمی در مثلث قائمالزاویه
مثلث قائمالزاویهٔ $ABC$ را که در آن $\angle A$ قائمه است و $AM$ میانهٔ وارد بر وتر است در نظر میگیریم.
روی نیمخط $AM$ نقطه $D$ را چنان در نظر میگیریم که $AM = MD$.
چرا چهارضلعی $ABDC$ متوازی الاضلاع است؟
زیرا قطرهایش یکدیگر را نصف میکنند.
چرا این چهارضلعی مستطیل است؟
زیرا زاویهٔ $A$ قائمه است و هر متوازی الاضلاعی که زاویه قائمه دارد. مستطیل است
در مورد قطرها چه نتیجهای می گیرید؟
قطرهای هر مستطیل باهم مساویاند.
اندازهٔ $AM$ چه رابطهای با اندازهٔ $BC$ دارد؟ آن را بیان کنید.
$AM = \frac{{BC}}{2}$
میتوانیم عکس این ویژگی را نیز ثابت کنیم.
در مثلث $ABC$، $AM$ میانه وارد بر ضلع $BC$ است و $AM = \frac{{BC}}{2}$. روی نیمخط $AM$ نقطهٔ $D$ را چنان در نظر میگیریم که $MD = AM$.
آیا میتوانید نتیجه بگیرید $AD = BC$ و قطرهای $AD$ و $BC$ منصف یکدیگرند؟ بله چگونه نتیجه میگیرید $\angle A$ قائمه است؟
بنا به قضایای قبل هر چهارضلعی که قطرهایش یکدیگر را نصف مستطیل است لذا تمام زاویههای داخلی آن قائمهاند.
ویژگیهایی که فقط در لوزی برقرارند
آیا میتوانید یک ویژگی از لوزی را بیان کنید که در هر متوازی الاضلاع یا هر مستطیل، که لوزی نیست، برقرار نباشد؟
بله، هر چهار ضلع لوزی با هم برابرند.
قطرهای لوزی $ABCD$ را رسم میکنیم. چون لوزی متوازی الاضلاع است، قطرها منصف یکدیگرند. $\Delta ABD$ چه نوع مثلثی است؟
متساوی الساقین
نقطهٔ تلاقی دو قطر را $H$ مینامیم، در مثلث $ABD$، $AH$ چه پارهخطی است؟
میانه
چرا پارهخط $AH$ بر قطر $BD$ عمود است و روی نیمساز $\Delta ABD$ است؟ زیرا
$\Delta ABH \cong \Delta ADH$
بنابراین؛
کار در کلاس (صفحه 61 کتاب درسی)
1- نشان دهید متوازی الاضلاعی که قطرهای آن بر هم عمود باشند، لوزی است.
فرض: $AB||CD,AD||BC,AC \bot BD$
حکم: $AB = BC = CD = DA$
برهان: قطرهای هر متوازی الاضلاع یکدیگر را نصف میکنند و از طرف دیگر $AC \bot BD$ پس در $\Delta ABD$، $ah$ عمودمنصف ضلع $BD$ است. لذا مثلث متساوی الساقین میباشد. به طریق مشابه در $\Delta ABC$ نیز $BH$ عمودمنصف ضلع $AC$ میباشد بنابراین میتوان نتیجه گرفت که $AB = BC = CD = DA$ پس چهارضلعی $ABCD$ لوزی است.
2- نشان دهید متوازیالاضلاعی که در آن لااقل یک قطر روی نیمساز یک زاویهٔ آن باشد، لوزی است.
فرض: $AB||CD,AD||BC,\angle {A_1} = \angle {A_2}$
حکم: $AB = BC = CD = DA$
برهان: در دو مثلث $ACD$ و $ABC$ داریم:
$\left. \begin{gathered}
\angle {A_1} = \angle {A_2} \hfill \\
\angle B = \angle D \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \angle {C_1} = \angle {C_2}\,\,\,\,\,\,(1)$
$\left. \begin{gathered}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\angle {A_1} = \angle {A_2} \hfill \\
(1) \Rightarrow \angle {C_1} = \angle {C_2} \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = AC \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta ABC \cong \Delta ACD \Rightarrow \left| \begin{gathered}
AB = AD \hfill \\
BC = CD \hfill \\
\end{gathered} \right.$
از طرف دیگر در هر متوازی الاضلاع، اضلاع موازی مساویاند پس: $AB = BC = CD = DA$
اکنون با توجه به ویژگیهای مستطیل و لوزی نشان دهید در چه صورت مستطیل یا لوزی، مربع است.
1- مستطیلی که دو ضلع مجاورش مساوی باشند مربع است.
2- مستطیلی قطرهایش برهم عمودند مربع است.
3- مستطیلی قطرهایش نیمساز زاویههای داخلی باشند مربع است
در شکل یک جک خودرو را میبینید. چهار بازوی آن یک لوزی تشکیل میدهند. آیا حالتی از جک وجود دارد که به شکل مربع درآید؟
اگر دو بازوی بالا با هم و دو بازوی پایین نیز باهم اندازههای مساوی داشته باشند، اما شکل جک لوزی نباشد، هنگام بسته شدن جک وقتی بخواهیم دو بازوی بالا روی دو بازوی پایین قرار گیرند چه مشکلی ایجاد میشود؟
جک بهطور کامل بسته نمیشود. زیرا مجموع طولهای دو ضلع بالایی با مجموع طولهای دو ضلع پایینی مساوی نیست.
ذوزنقه
ذوزنقه چهارضلعی ای است که با چهارضلعیهایی که قبلاً بررسی کردیم، کمی متفاوت است.
هر یک از دو ضلع $AB$ و $CD$ را که موازیاند، قاعده و هر یک از دو ضلع غیرموازی را ساق مینامند. از موازی بودن قاعدههای $AB$ و $CD$ و قاطعهای $BC$ و $AD$ در مورد زاویهها چه نتیجهای میگیرید؟
دو زاویه مجاور به یک ساق، مکملاند.
زاویههای $\angle A$ و $\angle D$ مکمل هستند. همچنین زاویههای $\angle B$ و $\angle C$ مکمل هستند.
اگر در یک ذوزنقه اندازههای دو ساق برابر باشند، آن را ذوزنقهٔ متساویالساقین مینامند.
هرگاه در یک ذوزنقه یک ساق بر یکی از قاعدهها عمود باشد، مسلماً برقاعدهٔ دیگر نیز عمود است؛ چرا؟
زیرا دو زاویه مجاور به یک ساق، مکملاند.
در این صورت ذوزنقه را قائمالزاویه مینامند.
فعالیت (صفحه 62 کتاب درسی)
ذوزنقهٔ متساویالساقین $ABCD$ را که در آن $AD = BC$ است، درنظر میگیریم. از رأس $B$ خطی موازی ساق $AD$ رسم میکنیم تا قاعدهٔ $DC$ را در $E$ قطع کند. در این صورت چهارضلعی $ABED$ متوازی الاضلاع است.
چرا دو زاویهٔ $\angle D$ و $\angle {E_1}$ هماندزهاند؟
$DC,AD||BE \Rightarrow \angle D = \angle {E_1}$ مورب
$BC = BE$ چرا؟
زیرا اگر دو زاویه از مثلثی با هم برابر باشند. اضلاع روبرو به آنها نیز با هم برابرند
بنابراین اندازهٔ $\angle {E_1}$ برابر اندازهٔ $\angle C$ است.
اکنون $\angle C$ و $\angle D$ هماندازهاند. چرا؟ بنابراین:
آیا عکس این ویژگی نیز درست است؟
فرض کنید در ذوزنقه $ABCD$، دو زاویهٔ $\angle C$ و $\angle D$ هماندازهاند. از $B$ خطی موازی ساق $AD$ رسم میکنیم تا قاعده $CD$ را در $E$ قطع کند. از اینکه $\angle D$ و $\angle {E_1}$ نیز هماندازهاند، پس دو زاویهٔ ................ هماندازهاند و در نتیجه $BC = BE$.
چون $ABED$ متوازیالاضلاع است، پس $AD = BE$. در نتیجه، $AD = BC$ است؛ بنابراین:
به کمک ویژگی ذوزنقهٔ متساویالساقین، ویژگی زیر به سادگی ثابت میشود. آن را ثابت کنید.
فعالیت (صفحه 63 کتاب درسی)
در ذوزنقهٔ $ABCD$:
$AD = BC$. از همنهشتی کدام دو مثلث نتیجه میگیرید است؟
اما اثبات عکس آن نیاز به تفکر بیشتر دارد. فرض کنیم $DB = AC$. آیا میتوانید در شکل زیر دو مثلث همنهشت پیدا کنید که از آن $AD = BC$ یا مساوی بودن اندازههای دو زاویهٔ مجاور به قاعده نتیجه شود؟
با کمی دقت مشاهده میکنید چنین دو مثلثی ظاهراً وجود ندارند؛ اما یک ویژگی در مسئله هست که از آن هنوز استفاده نکردهایم. دو قاعده ذوزنقه موازیاند یا رأسهای $A$ و $B$ از قاعدهٔ $CD$ به یک فاصلهاند. با رسم دو ارتفاع $AH$ و $BE$ و همنهشتی دو مثلث $\Delta AHC$ و $\Delta BED$ تساوی اندازههای دو زاویه را نتیجه بگیرید. به کمک آنها همنهشتی دو مثلث $\Delta ADC$ و $\Delta BCD$ نتیجه میشود و به حل مسئله منجر خواهد شد.
تمرین (صفحه 63 تا 64 کتاب درسی)
1- در کدام $n$ ضلعی تعداد قطرها و ضلعها برابر است؟
$\frac{{n(n - 3)}}{2} = n \Rightarrow \cancel{n}(n - 3) = 2\cancel{n} \Rightarrow n - 3 = 2 \Rightarrow n = 5$
2- در دو چهارضلعی زیر $AB = A'B'$ و $\angle B = \angle B'$ و $BC = B'C'$ و $\angle C = \angle C'$ و $CD = C'D'$ است. چگونه مساوی بودن اندازههای سایر ضلعها و زاویهها را نتیجه میگیرید؟
قطرهای $B'D',BD$ را در دو چهارضلعی رسم میکنیم بدیهی است که دو مثلث $B'C'D',BCD$ همنهشتاند پس:
$\angle {B_1} = \angle {B'_1}\xrightarrow{{\angle B = \angle B'}}\angle {B_2} = \angle {B'_2}$
در دو مثلث $A'B'D'\,,\,ABD$:
$\left. \begin{gathered}
AB = A'B' \\
\angle {B_2} = \angle {{B'}_2} \\
BD = B'D' \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta ABD \cong \Delta A'B'D'\xrightarrow{{\Delta BCD \cong \Delta B'C'D'}}$
$\square ABCD \cong \square A'B'C'D'$
اگر $\angle B = \angle B'$ و $BC = B'C'$ و $\angle C = \angle C'$ و $CD = C'D'$ و $\angle D = \angle D'$، در این حالت چگونه مساوی بودن اندازههای سایر ضلعها و زاویهها را نتیجه میگیرید؟
در این حالت کافی است قطرهای $AC$ و $A'C'$ را رسم نموده و مانند قسمت الف عمل کنیم.
3- از تقاطع نیمسازهای داخلی یک متوازی الاضلاع، چهارضلعی $MNPQ$ پدید آمده است. ثابت کنید این چهارضلعی مستطیل است.
$\square ABCD\,;\,\angle A + \angle B = {180^ \circ } \Rightarrow \frac{{\angle A}}{2} + \frac{{\angle B}}{2} = \frac{{{{180}^ \circ }}}{2} \Rightarrow $
$\Delta OAB\,;\,\angle {A_1} + \angle {B_1} = {90^ \circ } \Rightarrow \angle O = {90^ \circ }\,\,\,\,(1)$
به روش مشابه ثابت میشود:
$\Delta OAB\,;\,\angle {C_1} + \angle {D_1} = {90^ \circ } \Rightarrow \angle N = {90^ \circ }\,\,\,\,(2)$
$\Delta PBC\,;\,\angle {B_2} + \angle {C_2} = {90^ \circ } \Rightarrow \angle P = {90^ \circ }\,\,\,\,(3)$
چهار ضلعی $MNPO$ مستطیل است $(1),(2),(3) \Rightarrow \,\angle M = \angle N = \angle P = \angle O = {90^ \circ } \Rightarrow $
اگر چهارضلعی $ABCD$ مستطیل باشد:
$\Delta CDN;\,\angle {C_1} = \angle {D_1} = {45^ \circ } \Rightarrow CN = DN\,\,\,\,\,(1)$
$\left. \begin{gathered}
\angle {A_2} = \angle {B_2} = {45^ \circ } \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AD = BC \hfill \\
\angle {D_2} = \angle {C_2} = {45^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \Delta BCP \cong \Delta ADM \Rightarrow PC = DM\,\,\,\,(2)$
$(1),(2) \Rightarrow CN - PC = DN - DM \Rightarrow PN = MN$
پس طول و عرض مستطیل $MNPO$ با هم برابرند. به عبارت دیگر $\square MNPO$ مربع است.
4- مثلث قائمالزاویهٔ $\Delta ABC$ را که در آن $\angle A$ قائمه و اندازهٔ $\angle C$ برابر ${30^ \circ }$ است، در نظر میگیریم. میانهٔ وارد بر وتر را رسم کنید. مثلثهای $AMC$ و $AMB$ چگونه مثلثهایی هستند؟ نشان دهید $AB = \frac{{BC}}{2}$ یعنی در هر مثلث قائمالزاویه اگر اندازهٔ یک زاویه ${30^ \circ }$ باشد، اندازهٔ ضلع مقابل آن نصف اندازهٔ وتر است.
سپس با استفاده از قضیهٔ فیثاغورث نشان دهید، $AC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC$.
یعنی در هر مثلث قائمالزاویه اگر یک زاویه ${60^ \circ }$ باشد، اندازهٔ ضلع مقابل آن $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ اندازهٔ وتر است.
اکنون مثلث قائمالزاویهای رسم کنید که اندازهٔ یک زاویهٔ آن ${45^ \circ }$ باشد و نشان دهید که اندازهٔ هر ضلع زاویهٔ قائمه در آن $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ اندازهٔ وتر است.
در مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است پس:
$\Delta ABC;\angle A = {90^ \circ },\angle C = {30^ \circ } \Rightarrow \angle B = {60^ \circ }$
$\Delta ABM;AM = BM \Rightarrow \angle {A_1} = \angle B = {60^ \circ } \Rightarrow AM = BM = AB \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{2}$
$\Delta ABM;\angle A = {90^ \circ } \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$
$\xrightarrow{{AB = \frac{{BC}}{2}}}A{C^2} = B{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow A{C^2} = \frac{{3B{C^2}}}{4} \Rightarrow AC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC$
$\Delta ABC;\angle A = {90^ \circ },\angle B = {45^ \circ } \Rightarrow \angle B = \angle C \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
AB = AC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$2A{B^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = \frac{{B{C^2}}}{2} \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}BC$
5- در مثلث قائمالزاویهٔ $ABC$، اندازهٔ زاویهٔ $B$ برابر ${15^ \circ }$ است. با رسم میانه و ارتفاع وارد بر وتر نشان دهید اندازهٔ ارتفاع وارد بر وتر $\frac{1}{4}$ اندازهٔ وتر است.
در مثلث قائم الزاویه میانه وارد وتر نصف وتر است پس:
$\Delta ABC;AM = MB = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow \angle {A_1} = \angle B = {15^ \circ } \Rightarrow \angle {M_1} = \angle {A_1} + \angle B = {30^ \circ }$
از طرف دیگر در مثلث قائم الزاویه ضلع روبهرو به زاویهٔ 30 درجه نصف وتر است.
$\Delta AMH;\angle H = {90^ \circ },\angle {M_1} = {30^ \circ } \Rightarrow AH = \frac{{AM}}{2} \Rightarrow AH = \frac{{\frac{{AM}}{2}}}{{\frac{2}{1}}} = \frac{{AM}}{4}$
6- در متوازی الاضلاع $ABCD$، $M$ و $N$ به ترتیب وسطهای ضلعهای $AD$ و $BC$ میباشند. چرا خطهای $MB$ و $DN$ موازیاند؟ به کمک آن ثابت کنید $AP = PQ = QC$.
اگر در یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی باشند آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است. در چهارضلعی $BMDN$ داریم:
$\left. \begin{gathered}
AD = BC\xrightarrow{{ \div 2}}BN = MD \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BN||MD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow BM||DN$
$\Delta ADQ;MP||DQ \Rightarrow \frac{{AP}}{{PQ}} = \frac{{AM}}{{MQ}} = 1 \Rightarrow AP = PQ$
$\Delta BCP;BP||QN \Rightarrow \frac{{CQ}}{{QP}} = \frac{{CN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow CQ = PQ$
$ \Rightarrow AP = PQ = QC$
7- ثابت کنید اگر وسطهای ضلعهای هر چهارضلعی را بهطور متوالی به هم وصل کنیم، یک متوازی الاضلاع پدید میآید.
این چهارضلعی باید چه ویژگیای داشته باشد تا این متوازی الاضلاع مستطیل یا لوزی شود؟
چه رابطهای بین محیط متوازی الاضلاع پدید آمده با اندازههای قطرهای چهارضلعی اولیه وجود دارد؟
|
|
|
برهان: فرض کنیم نقاط $M$، $N$، $E$ و $F$ به ترتیب وسطهای اضلاع $AD,CD,BC,AB$ از چهارضلعی $ABCD$ باشند باید ثابت کنیم چهارضلعی $MNEF$ متوازی الاضلاع است. قطر $AC$ را رسم میکنیم:
$\Delta ABC;\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{2} \to MN||AC,MN = \frac{{AC}}{2}\,\,(1)$
$\Delta ACD;\frac{{DE}}{{DC}} = \frac{{DF}}{{DA}} = \frac{1}{2} \to EF||AC,EF = \frac{{AC}}{2}\,\,(2)$
$(1),(2) \Rightarrow MN||EF,MN = EF$
به عبارت دیگر در چهار ضلعی $MNEF$ دو ضلع موازی و مساویاند لذا چهارضلعی $MNEF$ متوازیالاضلاع است.
اگر قطرهای چهارضلعی $ABCD$ برهم عمود باشند. چهارضلعی $MNEF$ مستطیل است. زیرا قطرهای چهرضلعی $ABCD$ چهارضلعی $MNEF$ موازیاند.
اگر قطرهای جهارضلعی $ABCD$ با هم مساوی باشند. چهارضلعی $MNEF$ لوزی است. و اندازه هر ضلع این لوزی نصف طول قطر چهارضلعی $ABCD$ است.
$MN = EF = \frac{{AC}}{2},FM = EN = \frac{{BD}}{2} \Rightarrow $
$MN + NE + EF + FM = 2\left( {\frac{{AC}}{2} + \frac{{BD}}{2}} \right) = AC + BD$